主要问题

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  • p178 4 (4) 判断全体n*n实可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法元素(n>=2)是否封闭。
  • 对加法不封闭,例如一个n维单位矩阵I和的-I都可逆,但是I-I=0不可逆;
    对乘法封闭;例如A,B可逆则(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}; :a^{b} 是LaTex排版系统中a的b次幂写法,在此借用。
  • p179 11 (4) S = {1,2, ..., 10}, x*y = 质数p的个数, x<=p<=y;
  • 因为x*y的结果可能为0,0不属于S;所以集合S对*运算不封闭,*运算不是集合S上的二元运算;所以不构成代数系统。
  • p179 12 (2) 函数减法是否有单位元
  • 根据单位元的定义e.x = x.e = x 对于减法不满足交换律,所以没有单位元。本题中常函数f(x) =0 不是单位元。
  • p180 14 (1) N的子集能否构成子代数
  • 验证集合对+封闭:(1)指定的集合实际上是偶数集合,因为任意偶数的某个幂肯定能被16整除,例如2^4, (2*3)^4都能够被16整除;偶数集合对+运算是封闭的。
    验证集合和N含有相同的代数常数:都不含单位元和零元。
  • p180 17 关于满自同态的判断
  • 首先验证同态根据定义 f(x。y) ?= f(x)*f(y)即可;本题问是否V的自同态是从V到V的,因此运算符都是. (普通乘法)。
    关于满自同态根据定义需要验证Range(f(x)) 是否等于R*; (1)和(3)显然不符合此要求。