2012级--讨论记录 (第二学期)

2013年3月1日

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1. 计算问题与算法。
   • 计算问题：input + output + their relationship。
   • 算法：well-defined computational procedure for achieving an input-output relationship。
2. 好算法。
   • 要素：正确性、高效性、易实现性。
   • 设计流程：思路-->过程-->正确性-->效率。
3. 算法的正确性分析。
   • partially correct：基于checkpoint和invariant。
   • totally correct：partially correct + termination。
4. 算法的效率分析。
   • RAM的要素：数据类型、数据存储方式；指令类型、指令执行方式。
   • running time的计算：cost*times；best/worst/average case。
5. 算法效率的渐进表示法。
   • Theta, O和Omega的含义：基于集合；基于极限。
   • Theta vs. O：用O避免分情况讨论。
   • O vs. o：基于集合；基于极限。
   • 渐进表示法的比喻：大小关系；相似的性质，但无trichotomy。

2013年3月8日

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1. 加法和乘法原理的应用：识别元素；识别不相交的集合。
2. 列表、置换和子集。
   • 列表：本质是函数。
   • 置换：本质是双射函数。
   • k-元素置换：本质是列表。
   • k-元素子集：也可以看作函数。
3. 双射在counting中的作用：元素个数不变，但更容易计算。
4. 等价关系在counting中的作用：等价类大小相同时，可以做除法。

2013年3月15日

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1. maximum-subarray problem。
   • divide、conquer和combine在这个算法中分别如何体现。
   • 找max-crossing-subarray的方式与brute-force不同，从而节约操作。
   • 运行时间的递归表示。
   • 利用recursion tree来猜测运行时间的渐进表示法。
   • 利用substitution或master theorem来证明。
2. substitution证明的一些细节。
   • 为低阶项保留余量。
   • 恰当运用替换。
3. recursion tree。
   • 作用：猜测运行时间；直接证明运行时间。
   • 构建的步骤：中间节点；叶子节点；每层的和；层数；总合。

2013年3月22日

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1. induction, recursion, recurrences。
   • induction、recursion和recurrences的两两关系。
   • well-ordering principle和induction的关系：反证法+well-ordering principle=induction。
   • top-down比bottom-up的优势：思路更直接；不用证明构建的完备性；base case更直接。
2. first-order constant coefficient linear recurrence。
   • 结论的来源：通过递推展开来猜测。
   • 结论的证明：数学归纳法。
3. the master theorem的证明：基于递归树的时间复杂度分析。

2013年3月29日

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1. probability。
   • 从集合的角度理解sample space, element, event。
   • 区分probability weight和probability，并基于probability weight理解probability distribution function的三个条件。
   • uniform probability distribution的意义：probability-->counting。
2. the principle of inclusion and exclusion：基于Venn图解释公式。
3. conditional probability。
   • 基于Venn图解释conditional probability和独立性。
   • independent trials process和tree diagram。
4. random variable：理解random variable, expected value, additivity of expectation。

2013年4月7日

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1. indicator random variable：原理与应用。
2. 随机化。
   • expected running time vs. average-case running time：随机算法 vs. 一般算法的所有输入。
   • 随机数生成方法：计算方法；物理方法。
   • 数组随机排序方法：permute-by-sorting；randomize-in-place。
3. 计算expected running time的方法：定义；indicator random variable；线性性质；条件期望。
4. probability distributions and variance。
   • distribution function vs. cumulative distribution function：点和区间。
   • variance及其来源。

2013年4月12日

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1. 快速排序。
   • 正确性证明：loop invariant；递归程序正确性的归纳证明。
   • 运行时间：worst-case；best-case；average-case。
   • 随机化的快速排序：随机化的意义；期望运行时间。
2. 线性时间排序算法。
   • 基于比较的排序：运行时间的下界。
   • counting sort：stable；从左往右扫描的改法；对输入的要求及缺点。
   • radix sort：从高位开始排序的改法；分解的灵活性；对输入的要求。
   • bucket sort：最优运行时间。
3. 选择问题：找最大、最小元；随机化的选择算法；确定性的选择算法。

2013年4月19日

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1. dynamic set：含义；基本操作。
2. linked list。
   • 支持的操作：search, insert, delete。
   • insert/delete的抽象实现。
   • 基于数组的具体实现：多数组；单数组。
   • dynamic set操作的实现。
3. stack。
   • 支持的操作：test-empty, push, pop。
   • 具体实现：基于数组；基于链表。
   • dynamic set操作的实现。
4. queue。
   • 支持的操作：test-empty, enqueue, dequeue。
   • 具体实现：基于数组；基于链表。
   • dynamic set操作的实现。
5. rooted tree。
   • 与linked list的异同。
   • left-child, right-sibling representation的抽象实现。
   • dynamic set操作的实现。
6. allocating and freeing objects。
   • 意义。
   • free list的本质：基于linked list实现的stack。
   • service several linked lists with a single linked list的优缺点。

2013年4月26日

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1. heap、heapsort、priority queue：各算法的作用、基本原理、正确性证明、运行时间。
2. 分层抽象。
   • priority queue <-- heap <-- array。
   • tree <-- binary tree <-- array。
   • 优缺点：更简单的正确性证明 vs. 更复杂的运行时间分析。
3. tree的前序、中序、后序遍历。
4. 其它ADT：union-find；dictionary。
5. single-linkage agglomerative clustering。
   • 最终hierarchy的保存：binary out-tree。
   • hierarchy的计算过程：priority queue (+ dictionary)。
   • 计算过程的监控：union-find。

2013年5月3日

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1. dictionary。
   • 操作；用途。
   • direct-address table：原理；优缺点。
   • hash table：原理；优缺点。
2. collision。
   • expected number of items per location。
   • expected number of empty locations。
   • expected number of collisions。
3. collision resolution。
   • chaining：原理；运行时间；优缺点。
   • open addressing：原理；三种实现方式的区别；运行时间；优缺点。
   • 降低alpha的方式：扩容。
   • perfect hashing：原理；运行时间；优缺点。
4. hash function。
   • 目标：simple uniform hashing；depends on all the bits of the key；fast。
   • 应对蓄意构造的坏情况：choose the hash function randomly。

2013年5月10日

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1. binary search trees。
   • 操作；用途。
   • 各操作：原理；正确性。
   • binary search tree vs. hash table：运行时间；前后继；范围搜索；排序；对输入的要求（hash function vs. total order）；重hash。
2. red-black trees。
   • 平衡性及其原因。
   • rotation的性质。
   • 插入和删除的宏观思路。

2013年5月17日

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1. dynamic programming。
   • 面向的问题：优化。
   • 适用的问题：有最优子结构。
   • 有用的问题：子问题重复。
   • 代价：空间换时间。
2. dynamic programming的运行时间。
   • 性能要素：子问题数量；每个子问题中的决策数量。
   • 计算方法：top-down vs. bottom-up。
3. 问题实例及其四步骤。
   • rod cutting。
   • matrix-chain multiplication。
   • unweighted shortest/longest simple path。
   • longest common subsequence。
   • optimal binary search trees。

2013年5月24日

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1. greedy algorithms。
   • 基本原理。
   • greedy-choice property和optimal substructure。
   • 效率高于动态规划：计算的子问题少。
   • 实例：activity-selection和Huffman codes。
2. amortized analysis。
   • 与average-case analysis的异同：per operation vs. per algorithm; worst-case vs. average-case。
   • aggregate analysis：按行计算改为按列计算。
   • accounting method：在别处分摊代价。
   • potential function：全局集中的代价寄存；从accounting method的角度理解potential function。
   • 实例：stack operations; incrementing a binary counter; table expansion和contraction。

2013年5月31日

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1. union-find的应用。
   • connected component。
   • how many tables。
   • the suspects。
2. union-find的实现。
   • linked-list representation及其改进：weighted-union heuristic。
   • disjoint-set forests及其改进：union by rank；path compression。
3. single-linkage agglomerative clustering的实现：优先队列+并查集+树。

2013年6月7日

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1. 用图来建模问题。
2. 图的集合表示。
   • 无向图：函数；multiset。
   • 有向图：函数；multiset。
3. 图论中的术语。

2013年6月21日

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1. 图的计算机表示。
   • 方法与优缺点：Two-dimensional array；List of lists；Dictionary of keys；Coordinate list；Yale format。
   • 结合使用。
2. 图的搜索。
   • BFS：三种颜色的含义；BFS-tree的构建。
   • DFS：子孙关系的三个充要条件；SCC算法的原理。
3. 最小生成树：Kruskal及其实现；Prim及其实现；拟阵。